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Normes de polynômes
Soit \(a\in \mathbb{R}\). On pose pour \(P\in \mathbb{R}[X]\) : \(N_a(P) = |P(a)| + \int _{t=0}^1 |P'(t)|\,d t\). Montrer que :
\(N_a\) est une norme.
\(N_{0}\) et \(N_{1}\) sont équivalentes.
Si \(a,b\in {[0,1]}\), alors \(N_a\) et \(N_b\) sont équivalentes.
Soit \(P_n = (X/2)^n\). Déterminer pour quelles normes \(N_a\) la suite \((P_n)\) est convergente et quelle est sa limite.
Si \(0\leq a<b\) et \(b>1\) alors aucune des normes \(N_a\), \(N_b\) n’est plus fine que l’autre.
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[ID: 4348] [Date de publication: 21 mars 2024 21:04] [Catégorie(s): Normes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Normes de polynômes
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:04
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 21:04
\((P_n)\) converge vers \(0\) pour \(a\in {]-2,2[}\) et vers \(1\) pour \(a=2\). La suite est non bornée si \(|a| > 2\) ; elle est bornée divergente pour \(a=-2\).
\((X/b)^n\) converge vers \(1\) pour \(N_b\) et vers \(0\) pour \(N_a\).
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