Montrer que \(\forall x\in \mathbb{R}\), \[2\operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{th}}x)= \operatorname{arctan} ( \mathop{\mathrm{sh}}2x)\]


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[ID: 370] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 224
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:44

Soit \(f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & 2\operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{th}}x) - \operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{sh}}(2x)) \end{array} \right.\). On a \(D_f=\mathbb{R}\) et \[\begin{split} \forall x\in \mathbb{R} , f'(x) &= \dfrac{2}{1+\mathop{\mathrm{th}}^2x}\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2 x} - \dfrac{1}{1+\mathop{\mathrm{sh}}^2(2x)}(2\mathop{\mathrm{ch}}(2x)) \\ &=\dfrac{2}{\mathop{\mathrm{ch}}^2 x+\mathop{\mathrm{sh}}^2x}-\dfrac{2}{\mathop{\mathrm{ch}}^2(2x)} = 0 \end{split}\] Par conséquent \(f\) est constante sur \(\mathbb{R}\) et puisque \(f(0)=0\), on a l’égalité voulue.

En passant par la trigonométrie, soit \(x\in \mathbb{R}\), \(\exists!\theta\in ]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}[\) tel que \(\mathop{\mathrm{th}}x = \tan \theta\). Alors \(\operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{sh}}(2x))=\operatorname{arctan} (2\mathop{\mathrm{sh}}x \mathop{\mathrm{ch}}x)\). Or \(\mathop{\mathrm{sh}}x \mathop{\mathrm{ch}}x= \dfrac{\mathop{\mathrm{th}}x}{1-\mathop{\mathrm{th}}^2x}\), donc \(\mathop{\mathrm{sh}}2x= \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2(\theta)}=\tan(2\theta)\) et puisque \(2\theta \in ]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}[\), on obtient l’égalité souhaitée.


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