Calculer la dérivée de \(f:x\mapsto\sqrt{ \dfrac{1+\mathop{\mathrm{th}}x}{1-\mathop{\mathrm{th}}x} }\) sur un domaine à déterminer. Conclusion? Retrouver ce résultat en utilisant la trigonométrie.


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[ID: 368] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 857
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:44

Comme \(\operatorname{th} :\mathbb{R}\mapsto \left]-1,1\right[\), la fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on trouve que \[f'(x)= \dfrac{1}{ 2\sqrt{ \dfrac{1-\mathop{\mathrm{th}}x}{1-\mathop{\mathrm{th}}x} } } \dfrac{2}{ (1-\mathop{\mathrm{th}}x)^2 }(1-\mathop{\mathrm{th}}^2 x) = \sqrt{ \dfrac{1+\mathop{\mathrm{th}} x}{1-\mathop{\mathrm{th}}x} }\] \(f\) vérifie l’équation différentielle \(y'=y\). \(f\) est donc de la forme : \(f:x\mapsto \alpha e^x\) et comme \(f\left(0\right)=1\), on a \(\alpha=1\) et \(f\) est la fonction exponentielle néperienne. On retrouve ce résultat en écrivant \[f(x)=\sqrt{ \dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}x+ \mathop{\mathrm{sh}}x}{\mathop{\mathrm{ch}}x - \mathop{\mathrm{sh}}x} } = \sqrt{ \dfrac{e^x}{e^{-x}} } = e^x .\]


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