Résoudre l’équation \[5\mathop{\mathrm{ch}}x -4\mathop{\mathrm{sh}}x = 3\] On utilisera deux méthodes différentes: ) En exprimant tout à l’aide d’exponentielles, ) En utilisant \(t=\mathop{\mathrm{th}}\dfrac{x}{2}\).


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[ID: 366] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 270
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:44
  1. L’équation s’écrit \(5(e^x+e^{-x})-4(e^x-e^{-x})=6\), c’est-à-dire \[(e^x)^2-6e^x +9=0\] En posant \(X=e^x\), on a une équation du second degré, \((X-3)^2=0\), on trouve alors une unique solution \(e^x=3\), c’est-à-dire \(\boxed{ x=\ln 3}\)

  2. Si \(t=\mathop{\mathrm{th}}{\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}\), l’équation s’écrit \[5\dfrac{1+t^2}{1-t^2}-4\dfrac{2t}{1-t^2}=3 \Longleftrightarrow 4t^2-4t+1=0\] l’unique solution est alors \(t=\dfrac{1}{2}\). Alors \[\mathop{\mathrm{th}}\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow 2(e^{{\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}}-e^{-{\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}})=e^{{\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}}+e^{-{\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}} \Longleftrightarrow e^x=3 \Longleftrightarrow x=\ln 3\]

La première solution est plus simple!


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