Soit \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} ]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \ln\left( \tan\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}+{\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}\right)\right) \end{array} \right.\] Montrer que \(f\) est bien définie et que : \(\forall x\in I=]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}[\):

  1. \(\mathop{\mathrm{th}}{\scriptstyle f(x)\over\scriptstyle 2}=\tan {\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}\)

  2. \(\mathop{\mathrm{th}}f(x)=\sin x\)

  3. \(\mathop{\mathrm{ch}}f(x)=\dfrac{1}{\cos x}\)

  4. \(\mathop{\mathrm{sh}}f(x) =\tan x\).


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[ID: 364] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 839
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:44

Remarquons d’abord que dans l’intervalle de définition, \(0<({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} )< {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\) et donc que la tangente prend ses valeurs dans \(]0,+\infty[\) et par conséquent que \(f\) est bien définie.

  1. Puisque \[\mathop{\mathrm{th}}X = \dfrac{e^{2X}-1}{e^{2X}+1}\] En remplaçant, \[\mathop{\mathrm{th}}{\scriptstyle f(x)\over\scriptstyle 2}=\dfrac{ \tan( {\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}) - 1}{\tan({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+ {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})+1 }\] et en développant \(\sin(a+b)\), \(\cos(a+b)\), on trouve le résultat.

  2. On utilise la même expression de \(\mathop{\mathrm{th}}x\) et l’on trouve: \[\mathop{\mathrm{th}}f(x)= \dfrac{\tan^2({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})-1}{\tan^2({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})+1} =\sin^2\left( {\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right) -\cos^2\left( {\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right) =-\cos\left( x+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right) = \sin x\] où l’on a utilisé la formule \(\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a\).

  3. Puisque \(\mathop{\mathrm{ch}}x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\), on trouve que \[\mathop{\mathrm{ch}}f(x)= \dfrac{ \tan^2({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}) + 1}{2\tan({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+ {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})}= \dfrac{1}{2\sin({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} ) \cos({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})} = \dfrac{1}{\sin(x+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2})}= \dfrac{1}{\cos x}.\]

  4. De la même façon, \[\mathop{\mathrm{sh}}f(x)= \dfrac{\tan^2({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})-1}{2\tan({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})}=-\dfrac{ \sin^2({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})-\cos^2({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})}{2 \sin({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})\cos({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4})}= \dfrac{ -\cos(x+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2})}{\sin(x+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2})}=\tan x.\]


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