Soit \(a\in \mathbb{R}\). Résoudre l’équation \[\mathop{\mathrm{ch}}x + \cos a = 2\mathop{\mathrm{sh}}x + \sin a\]


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[ID: 362] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 298
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:44

En passant aux exponentielles et en notant \(X=e^x\), \(X\) doit vérifier l’équation du second degré: \[X^2+2(\sin a -\cos a)X-3=0\] Le discriminant réduit vaut \(\Delta'=(\sin a -\cos a)^2+3 >0\). Puisque \(X>0\), il faut que \[X=\sqrt{(\sin a - \cos a)^2 +3} -(\sin a -\cos a)\] On a bien \(X>0\) car \(\sqrt{(\sin a - \cos a)^2 +3} >\lvert sin a - \cos a \rvert\). Alors \[\boxed{ x=\ln\left( \sqrt{4-\sin 2a} -2+\sin 2a \right) }\]


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