Montrez que \[\forall x\geqslant 0, \quad\operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{sh}}x)=\operatorname{arccos} \left(\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{ch}} x}\right)\] Retrouver ensuite ce résultat par la trigonométrie.


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[ID: 360] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 863
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:44

Considérons la fonction \(f:[0,+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) définie par \[f(x)=\operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{sh}}x) - \operatorname{arccos} \left( \dfrac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}x}\right)\] Elle est dérivable sur l’intervalle \(]0,+\infty[\) et \(\forall x>0\), \[f'(x)=\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}x}{1+\mathop{\mathrm{sh}}^2 x} -\dfrac{1}{\sqrt{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}^2 x}}}\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{\mathop{\mathrm{ch}}^2 x}=0\] Comme \(f(0)=0\), on trouve que \(\forall x\in [0,+\infty[\), \(f(x)=0\).
Par la trigonométrie : soit un réel \(x\geqslant 0\). Comme \(\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}x} \in ]0,1[\), il existe \(\theta \in [0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}[\) tel que \[\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}x} = \cos \theta\] Alors \[\mathop{\mathrm{sh}}x = \sqrt{\dfrac{1}{\cos^2 \theta}-1}=\tan \theta\] et alors \[\operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{sh}}x)=\operatorname{arctan} (\tan \theta)=\theta\] Et d’autre part, on a bien \[\operatorname{arccos} \left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}x}\right) = \operatorname{arccos} (\cos \theta)=\theta (\theta \in [0,\pi])\]


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