Montrer que \(\forall x \neq 0\), \[\mathop{\mathrm{th}}x = \dfrac{2}{\mathop{\mathrm{th}}2x} - \dfrac{1}{\mathop{\mathrm{th}}x}\] Calculer alors la somme \[S_n = \sum_{k=0}^{n-1} 2^k \mathop{\mathrm{th}}(2^k x)\]


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[ID: 358] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 501
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:44

En utilisant les formules d’addition pour la tangente hyperbolique : \[\dfrac{2}{\mathop{\mathrm{th}}2x}-\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{th}}x} = \dfrac{2}{{\scriptstyle 2\mathop{\mathrm{th}}x\over\scriptstyle 1+\mathop{\mathrm{th}}^2 x}}-\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{th}}x} =\dfrac{1+\mathop{\mathrm{th}}^2 x -1}{\operatorname{th} x}=\operatorname{th} x.\] En remplaçant dans la somme, on trouve \[S_n= \sum_{k=0}^{n-1}2^k \left( \dfrac{2}{\mathop{\mathrm{th}}2^{k+1}x} -\dfrac{2}{\mathop{\mathrm{th}}2^k x} \right) = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{2^{k+1}}{\mathop{\mathrm{th}}2^{k+1}x } -\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{2^k}{\mathop{\mathrm{th}} 2^k x} = \boxed{ \dfrac{2^n}{\mathop{\mathrm{th}}2^n x} - \dfrac{1}{\mathop{\mathrm{th}} x} }\]


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