Pour tout \((a,b)\in \mathbb{R}^2\) et \(n\in\mathbb{N}\), calculer : \[\displaystyle{C_n=\sum_{k=0}^n \mathop{\mathrm{ch}}(a+kb)} \quad \textrm{ et} \quad\displaystyle{S_n=\sum_{k=0}^n \mathop{\mathrm{sh}}(a+kb)}.\]


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[ID: 356] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 508
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:44

Soient \((a,b)\in \mathbb{R}^2\) et \(n\in\mathbb{N}\). On a \[C_n+S_n = \sum_{k=0}^n \left(\mathop{\mathrm{ch}}(a+kb) +\mathop{\mathrm{sh}}(a+kb)\right) =\sum_{k=0}^n e^{a+kb} = e^a \sum_{k=0}^n \left(e^b\right)^k=\begin{cases} e^a \dfrac{1-e^{\left(n+1\right)b}}{1-e^b} &\textrm{ si } b\neq 0 \\ \left(n+1\right)e^a&\textrm{ si } b= 0 \end{cases}\]

De plus, pour \(b\neq 0\), en utilisant la technique des angles moitiés, il vient :

\[\dfrac{1-e^{\left(n+1\right)b}}{1-e^b}=e^{{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}}\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle\left(n+1\right)b\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2}}.\]

De même : \[C_n-S_n = \sum_{k=0}^n \left(\mathop{\mathrm{ch}}(a+kb) -\mathop{\mathrm{sh}}(a+kb)\right) =\sum_{k=0}^n e^{-\left(a+kb\right)} = e^{-a} \sum_{k=0}^n \left(e^{-b}\right)^k=\begin{cases} e^{-a} \dfrac{1-e^{-\left(n+1\right)b}}{1-e^{-b}} &\textrm{ si } b\neq 0 \\ \left(n+1\right)e^{-a}&\textrm{ si } b= 0 \end{cases}\]

et si \(b\neq 0\), \[\dfrac{1-e^{-\left(n+1\right)b}}{1-e^{-b}} =e^{-{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}}\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle\left(n+1\right)b\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2}}.\] Par suite : \[C_n = \begin{cases} \dfrac12 \left( \left(e^{a+{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}} + e^{-a-{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}}\right)\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle\left(n+1\right)b\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2}} \right) = \mathop{\mathrm{ch}}\left(a+{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}\right)\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle\left(n+1\right)b\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2}}&\textrm{ si } b\neq 0 \\ \left(n+1\right)\mathop{\mathrm{ch}}a&\textrm{ si } b= 0 \end{cases}\] et \[S_n = \begin{cases} \dfrac12 \left( \left(e^{a+{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}} - e^{-a-{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}}\right)\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle\left(n+1\right)b\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2}} \right) = \mathop{\mathrm{sh}}\left(a+{\scriptstyle nb\over\scriptstyle 2}\right)\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle\left(n+1\right)b\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}{\scriptstyle b\over\scriptstyle 2}}&\textrm{ si } b\neq 0 \\ \left(n+1\right)\mathop{\mathrm{sh}}a&\textrm{ si } b= 0 \end{cases}.\] En utilisant que \(\mathop{\mathrm{sh}}\) est dérivable en \(0\) de dérivée \(\mathop{\mathrm{ch}}0=1\), on sait que \(\lim_{x\to 0} \mathop{\mathrm{sh}}x/x=1\) et donc \(\lim_{x\to 0} \mathop{\mathrm{sh}}\alpha x/x=\alpha\). On en déduit que les formules précédentes sont bien cohérentes car, par exemple, on a bien \(\lim_{b\to 0} C_n =\left(n+1\right)\mathop{\mathrm{ch}}a\).


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