Simplifier, quand là où elles sont définies, les expressions suivantes :

  1. \(\mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)\)

  2. \(\operatorname{th} \left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)\)

  3. \(\mathop{\mathrm{sh}}\left(2\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)\)

  4. \(\mathop{\mathrm{sh}}\left(\mathop{\mathrm{argch}}x\right)\)

  5. \(\operatorname{th} \left(\mathop{\mathrm{argch}}x\right)\)

  6. \(\mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argth}}x\right)\)


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[ID: 354] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 626
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:44
  1. Soit \(x\in\mathbb{R}\). Comme \(\mathop{\mathrm{ch}}\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}\), \(\mathop{\mathrm{ch}}x = \sqrt{1+\mathop{\mathrm{sh}}^2 x}\) et : \[\mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)=\sqrt{ 1 + \mathop{\mathrm{sh}}^2\left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)} = \boxed{\sqrt{1+x^2}}.\]

  2. Soit \(x\in\mathbb{R}\). Comme \(\operatorname{th} x=\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{\mathop{\mathrm{ch}}x}\) : \[\operatorname{th} \left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right) = \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right) }{\mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)}=\boxed{\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}.\]

  3. Soit \(x\in\mathbb{R}\). En utilisant les formules d’additions, \[\mathop{\mathrm{sh}}\left(2\mathop{\mathrm{argsh}}x\right) =2\mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)\mathop{\mathrm{sh}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)=\boxed{2x\sqrt{1+x^2}}.\]

  4. Soit \(x\in\left[1,+\infty\right[\). Comme \(\mathop{\mathrm{sh}}\) est positive sur \(\left[1,+\infty\right[\), \(\mathop{\mathrm{sh}}x=\sqrt{\mathop{\mathrm{ch}}^2 x -1}\) et \[\mathop{\mathrm{sh}}\left(\mathop{\mathrm{argch}}x\right) = \sqrt{\mathop{\mathrm{ch}}^2 \left(\mathop{\mathrm{argch}}x\right) -1} = \boxed{\sqrt{x^2-1}}.\]

  5. Soit \(x\in\left[1,+\infty\right[\). \[\operatorname{th} \left(\mathop{\mathrm{argch}}x\right) = \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}\left(\mathop{\mathrm{argch}} x\right) }{\mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argch}}x\right)}=\boxed{\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}}.\]

  6. Soit \(x\in\mathbb{R}\). De : \(1-\operatorname{th} ^2 x = \dfrac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2 x }\), on déduit, \(\mathop{\mathrm{ch}}\) étant positive sur \(\mathbb{R}\) : \(\mathop{\mathrm{ch}}x = \dfrac{1}{\sqrt{1-\operatorname{th} ^2 x}}\). Par suite : \[\mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argth}}x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1-\operatorname{th} ^2 \left(\mathop{\mathrm{argth}}x\right) }} =\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}.\]


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