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Polynômes de Chebicheff
Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(f_n(x) = \cos(n\arccos x )\) et \(g_n(x) = \dfrac {\sin(n\arccos x)}{\sqrt {1-x^2 }}\). Montrer que \(f_n\) et \(g_n\) sont des fonctions polynomiales.
Même question avec \(h_n(x)= \mathop{\rm ch}\nolimits(n\mathop{\rm argch}\nolimits(x))\) et \(k_n(x) = \dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits(n\mathop{\rm argch}\nolimits(x))}{\sqrt {x^2 -1}}\).
Établir des relations entre les polynômes associés à \(f_n\), \(g_n\), \(h_n\) et \(k_n\).
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[ID: 3479] [Date de publication: 12 mars 2024 09:57] [Catégorie(s): Fonctions hyperboliques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Polynômes de Chebicheff
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 09:57
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 09:57
\(f_{0} (x) = 1\), \(f_{1}(x) = x\), \(f_{n+1}(x)+f_{n-1}(x) = 2xf_n(x)\).
\(g_{0} (x) = 0\), \(g_{1}(x) = 1\), \(g_{n+1}(x)+g_{n-1}(x) = 2xg_n(x)\).
\(h_{0} (x) = 1\), \(h_{1}(x) = x\), \(h_{n+1}(x)+h_{n-1}(x) = 2xh_n(x)\).
\(k_{0} (x) = 0\), \(k_{1}(x) = 1\), \(k_{n+1}(x)+k_{n-1}(x) = 2xk_n(x)\).
\(f_n=h_n\), \(g_n=k_n=\frac1nf_n'\).
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