Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) de dimension finie, et \(u\in \mathcal L (E)\) tel que pour tout \(x\in E\) la suite \((u^n (x))_{n\in \mathbb{N}}\) est bornée.

  1. Montrer que la suite \((\left\|u^n \right\|)_{n\in \mathbb{N}}\) est bornée.

  2. Déterminer la limite quand \(n\to \infty\) de \(\frac1{n+1}\sum_{i=0}^n u^i(x)\).

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[ID: 4343] [Date de publication: 21 mars 2024 20:56] [Catégorie(s): Suites vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

ENS Lyon MP 2002
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 20:56

  1. Soit \((e_{1},\dots,e_p)\) une base de \(E\). On remplace la norme sur \(E\) par la norme infinie associée à \((e_{1},\dots,e_p)\). Alors \(\left\|u^n \right\|\leq \sum_{i=1}^p\left\|u^n (e_i)\right\|\).

  2. Trigonaliser fortement \(u\) (ou son prolongement au complexifié de \(E\)). Comme \((u^n )\) est borné, les valeurs propres de \(u\) sont de module inférieur ou égal à \(1\), et pour celles de module \(1\) le bloc triangulaire associé est en fait diagonal. On trouve \(\frac1{n+1}\sum_{i=0}^n u^i \to _{n\to \infty }\) projection sur \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u-\mathop{\rm id}\nolimits)\) parallèlement à \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u-\mathop{\rm id}\nolimits)\).

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