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Exercice 2128
On note \(E\) l’espace vectoriel des suites réelles \((x_n)\) telles que la série \(\sum x_n^2\) converge. On le munit du produit scalaire \((x|y)=\sum_{n=0}^\infty x_ny_n\). Soit \((y^s)\) une suite bornée d’éléments de \(E\). Montrer qu’on peut en extraire une sous-suite convergent faiblement, c’est-à-dire qu’il existe \(z\) telle que pour tout \(x\) de \(E\) on ait \((x|y^{s_k})\to _{k\to \infty }(x|z)\).
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[ID: 4341] [Date de publication: 21 mars 2024 20:55] [Catégorie(s): Suites vectorielles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 2128
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 20:55
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 20:55
On construit \((s_k)\) de proche en proche de sorte que pour tout \(n\) fixé la suite \((y_n^{s_k})\) soit convergente vers \(z_n\). Comme \(\sum_{n\leq N}(y_n^{s_k})^2\) est bornée indépendamment de \(N\) et \(k\) la série \(\sum_nz_n^2\) a ses sommes partielles bornées donc converge. On a alors \((x|y^{s_k})\to _{k\to \infty }(x|z)\) pour toute suite \(x\) à support fini, puis pour toute suite de carré sommable par interversion de limites.
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