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[ID: 4329] [Date de publication: 21 mars 2024 20:13] [Catégorie(s): Géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

\(x/\max(1,\left\|x\right\|)\), Centrale MP 2005
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 20:13

Pour \(\left\|x\right\|\leq 1\) et \(\left\|y\right\|\leq 1\) on a \(\left\|f(x)-f(y)\right\| = \left\|x-y\right\|\).

Pour \(\left\|x\right\|\leq 1<\left\|y\right\|\) on a \(\left\|f(x)-f(y)\right\|\leq \left\|x-y\right\| + \left\|y - \dfrac{y}{\left\|y\right\|}\right\| = \left\|x-y\right\| + \left\|y\right\| - 1\leq \left\|x-y\right\| + \left\|y\right\| - \left\|x\right\|\leq 2\left\|x-y\right\|\).

Pour \(1 < \left\|x\right\|\leq \left\|y\right\|\) on a \(\left\|f(x) - f(y)\right\| \leq \left\|\dfrac{x}{ }x\left\| \right\| - \dfrac{y}{ }x\left\| \right\|\right\| + \left\|\dfrac{y}{ }x\left\| \right\| - \dfrac{y}{ }y\left\| \right\|\right\| \leq \dfrac{\left\|x-y\right\| + \left\|y\right\| - \left\|x\right\|}{\left\|x\right\|}\leq \dfrac{2\left\|x-y\right\|}{\left\|x\right\|}\).

Remarque : dans le cas où la norme est euclidienne, \(f(x)\) est le projeté de \(x\) sur la boule unité, c’est-à-dire le point de la boule unité le plus proche de \(x\). Dans ce cas, \(f\) est \(1\)-lipschitzienne. Dans le cas d’une norme non euclidienne on peut avoir \(\left\|f(x)-f(y)\right\| > \left\|x-y\right\|\), par exemple avec \(x=(1,1)\) et \(y=({1/2},\frac32)\) dans \(\mathbb{R}^2\) pour \(\left\|\ \right\|_\infty\).