Soit \(A\) une partie de \(\mathbb{R}^n\) non vide. On note pour \(x\in \mathbb{R}^n\) : \(d_A(x) = \inf\{ \left\|x-y\right\|\text{ tq }y\in A\}\).

  1. Montrer que \(d_A\) est continue.

  2. Soient deux parties de \(\mathbb{R}^n\) non vides \(A,B\). Donner une condition équivalente à \(d_A=d_B\).

  3. On note \(\rho (A,B) = \sup\{ |d_A(y)-d_B(y)|\), \(y\in \mathbb{R}^n \}\), valant éventuellement \(+\infty\).

    Montrer que l’on a \(\rho (A,B) = \max\Bigl(\sup\limits_{x\in A} d_B(x),\ \sup\limits_{x\in B} d_A(x)\Bigr)\).

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[ID: 4323] [Date de publication: 21 mars 2024 20:13] [Catégorie(s): Géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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Distance à un ensemble (ENS Cachan MP 2002)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 20:13

  1. Pour \(x,x'\in \mathbb{R}^n\) et \(y\in A\) on a \(d_A(x)\leq \left\|x-y\right\|\leq \left\|x-x'\right\| + \left\|x'-y\right\|\). En prenant la borne inférieure sur \(y\) on obtient \(d_A(x)\leq \left\|x-x'\right\| + d_A(x')\). Par symétrie on a aussi \(d_A(x')\leq \left\|x-x'\right\| + d_A(x)\) d’où \(|d_A(x)-d_A(x')\leq \left\|x-x'\right\|\).

  2. On sait que \(\overline A = \{ x\in \mathbb{R}^n \text{ tq }d_A(x)=0\}\). Donc \(d_A = d_B\Rightarrow \overline A = \overline B\) et la réciproque résulte de la propriété facile \(d_A = d_{\overline A}\).

  3. On note : \(M = \sup\{ |d_A(y)-d_B(y)|,\ y\in \mathbb{R}^n \}\), \(\alpha = \sup\{ d_B(x), x\in A\}\) et \(\beta =\sup\{ d_A(x),\ x\in B\}\). Par restriction de \(y\) à \(A\cup B\) on obtient \(M \geq \max(\alpha ,\beta )\). Par ailleurs, pour \(y\in \mathbb{R}^n\), \(a\in A\) et \(b\in B\) on a \(\left\|y-a\right\|-\left\|y-b\right\|\leq \left\|a-b\right\|\) d’où \(d_A(y)-\left\|y-b\right\|\leq d_A(b)\) puis \(d_A(y)-d_B(y)\leq \beta\). Par symétrie on a aussi \(d_B(y)-d_A(y)\leq \alpha\) donc \(|d_A(y)-d_B(y)|\leq \max(\alpha ,\beta )\) et finalement \(M\leq \max(\alpha ,\beta )\).

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