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Une boule est convexe
Soit \(E\) un evn, \(a\in E\), \(r > 0\). On note \(\overline B = \overline B(a,r)\) et \(\overset{\circ}{B} = \overset{\circ}{B} (a,r)\).
Montrer que \(\overline B\) et \(\overset{\circ}{B}\) sont convexes.
Si la norme est euclidienne, montrer que si \(u,v\in \overline B\) avec \(u\neq v\), alors \({]u,v[}\subset \overset{\circ}{B}\).
\((]u,v[ = \{ (1-t)u + tv\text{ tq }t\in {]0,1[}\} )\)
En déduire que si la norme est euclidienne, toute partie \(A\) telle que \(\overset{\circ}{B} \subset A\subset \overline B\) est convexe.
Donner un contre-exemple avec une norme non euclidienne.
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[ID: 4321] [Date de publication: 21 mars 2024 20:13] [Catégorie(s): Géométrie ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
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