Soient \(A,B\) des matrices de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) symétriques et \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, t \mapsto \max(\mathop{\rm sp}\nolimits(A+tB)).\) Montrer que \(f\) est convexe.

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[ID: 4295] [Date de publication: 21 mars 2024 18:27] [Catégorie(s): Matrices symétriques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Rayon spectral, Centrale MP 2006
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 18:27

Pour \(A\) symétrique réelle on a \(\max(\mathop{\rm sp}\nolimits(A)) = \sup\{ (x|Ax)/\left\|x\right\|^2\), \(x\in \mathbb{R}^n \setminus \{ 0\} \}\) donc \(f\) est la borne supérieure des fontions affines \(t\mapsto ((x|Ax) + t(x|Bx))/\left\|x\right\|^2\) lorsque \(x\) décrit \(\mathbb{R}^n \setminus \{ 0\}\). En tant que sup de fonctions convexes, c’est une fonction convexe.

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