Soit \(A\in M_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^3={ }^t\!A A\). \(A\) est-elle diagonalisable dans \(M_n(\mathbb{R})\), dans \(M_n(\mathbb{C})\) ?


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[ID: 4315] [Date de publication: 21 mars 2024 18:40] [Catégorie(s): Transposition ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Mines MP 2000
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 18:40

\({ }^t\!AA\) est \(\mathbb{R}\)-diagonalisable donc annule un polynôme \(P\) scindé à racines simples. \(A\) annule le polynôme \(P(X^3)\), donc est \(\mathbb{C}\)-diagonalisable si \(0\) n’est pas racine de \(P\) ce que l’on peut imposer si \(A\) est inversible.

Si \(A\) n’est pas inversible, soit \(P(X) = XQ(X)\) avec \(Q(0)\neq 0\).

On a \(\mathbb{R}^n = \mathop{\rm Ker}\nolimits(A^3)\oplus \mathop{\rm Ker}\nolimits(Q(A^3))\) et \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(A^3) = \mathop{\rm Ker}\nolimits({ }^t\!AA) = \mathop{\rm Ker}\nolimits(A)\) donc \(AQ(A^3)=0\) et \(A\) est encore \(\mathbb{C}\)-diagonalisable.

Contre-exemple pour la \(\mathbb{R}\)-diagonalisabilité : prendre une rotation d’angle \(2\pi /3\) dans le plan.


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