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[ID: 4313] [Date de publication: 21 mars 2024 18:33] [Catégorie(s): Endomorphismes des espaces euclidiens ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

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Centrale 2017
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 18:33

1. Soit \((e_{1},\dots,e_n)\) une base orthonormale propre pour \(f\) et \(x\) un vecteur unitaire. On a \((f(x)|x)=\sum_{i=1}^n \lambda _i x_i^2\), donc \(\lambda _{1} \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq (f(x)|x)\leq \lambda _n \sum_{i=1}^n x_i^2\), ou encore \(\lambda _{1} \leq (f(x)|x)\leq \lambda _n\). On suppose \((f(x)|x)=\lambda _{1}\). Soit \(j\) tel que \(\lambda _j>\lambda _{1}\). Si \(x_j\neq 0\) alors \(\lambda _j x_j^2 >\lambda _{1} x_j^2\) puis \((f(x)|x)>\lambda _{1}\). On en déduit que si \(x_j\neq 0\) alors \(\lambda _j=\lambda _{1}\) et donc \(f(x)=\lambda _{1} x\). La réciproque est évidente. On montre de même que \((f(x)|x)=\lambda _n\) si et seulement si \(f(x)=\lambda _n x\).

2. 1. On a \(|(f(u)|u)|=|^tUMU|=|\sum_{1\leq i,j\leq n} m_{i,j}u_iu_j|\leq \sum_{1\leq i,j\leq n} m_{i,j}|u_i||u_j|= (f(\overline{u})|\overline{u})\) et donc on a \(|\lambda _n|\leq (f(\overline{u})|\overline{u})\leq \lambda _n\). On en déduit que \(\lambda _n\geq 0\) et que \((f(\overline{u})|\overline{u})=\lambda _n\), puis \(f(\overline{u})=\lambda _n \overline{u}\).

   2. On suppose que \(\overline{u}_i=0\). On a alors \(0=\lambda _n \overline{u}_i=\sum_{j\neq i} m_{i,j}\overline{u}_j\). Or tous les \(m_{i,j}\) sont \(>0\), donc pour tout \(j\neq i\), \(\overline{u}_j=0\) puis \(\overline{u}=0\) ce qui est impossible. Par conséquent les coordonnées de \(\overline{u}\) sont strictement positives et donc toutes les coordonnées d’un vecteur propre associé à \(\lambda _n\) sont non nulles. Soit \(v\) un tel vecteur. On suppose que la famille \((u,v)\) est libre. Alors le vecteur \(v-\frac{v_{1}}{u_{1}}u\) est non nul et est vecteur propre associé à \(\lambda _n\). Or sa première coordonnée est nulle, ce qui est impossible. On en déduit que l’espace propre associé à \(\lambda _n\) est de dimension 1.

   3. On a pour tout \(X\) unitaire \(|^tXMX|\le{ } ^t|X|M|X|\leq \lambda _n\). Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(M\) et \(X\) un vecteur propre unitaire associé. On a \(|\lambda |=|^tXMX|\leq \lambda _n\).