Soit \(E = \mathcal C ([0,1],\mathbb{R})\) muni du produit scalaire défini par \((f|g) = \int _{0} ^1 fg\).

Soient \(u,v\) les endomorphismes de \(E\) définis par \(u(f)(x) = \int _{0} ^xf\) et \(v(f)(x) = \int _x^1 f\).

  1. Montrer que \((u(f)|g) = (f|v(g))\).

  2. Déterminer les valeurs propres de \(u\circ v\).

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[ID: 4311] [Date de publication: 21 mars 2024 18:32] [Catégorie(s): Endomorphismes des espaces euclidiens ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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IIE MP 2004
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 18:33

  1. On a pour \(f,g\in E\) : \(u\circ v(f) = g \Leftrightarrow g\) est \(\mathcal C ^2\), \(g(0)=g'(1)=0\) et \(g''=-f\). En particulier \(u\circ v\) est injectif, \(0\) n’est pas valeur propre de \(u\circ v\).

    Pour \(\lambda \in \mathbb{R}^*\) et \(f\in E\) on a \(u\circ v(f) = \lambda f\) si et seulement si \(f\) est de la forme \(x\mapsto ae^{\alpha x} + be^{-\alpha x}\) avec \(\alpha ^2 = -1/\lambda\) et \(a+b=a\alpha e^\alpha - b\alpha e^{-\alpha } = 0\). On obtient \(f\neq 0\) en prenant \(a\neq 0\), \(b=-a\) et \(\alpha =i\pi (\frac12+k)\), \(k\in \mathbb{Z}\). Donc \(\mathop{\rm sp}\nolimits(u\circ v) = \Bigl\{ \dfrac{1}{\pi ^2 ({1/2}+k)^2 },\ k\in \mathbb{Z}\Bigr\}\).

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