Soit \(f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n , (x_{1},\dots,x_n) \mapsto (x_{1}-x_n,x_{2}-x_{1},\dots,x_n-x_{n-1}).\) Avec la structure euclidienne canonique de \(\mathbb{R}^n\), calculer la norme de \(f\).

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[ID: 4308] [Date de publication: 21 mars 2024 18:32] [Catégorie(s): Endomorphismes des espaces euclidiens ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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Calcul de norme
Par Michel Quercia Emmanuel Vieillard-Baron le 21 mars 2024 18:32

\(f = \mathop{\rm id}\nolimits-r\) où \(r(x_{1},\dots,x_n) = (x_n,x_{1},\dots,x_{n-1})\). Donc \(f^*\circ f = 2\mathop{\rm id}\nolimits-r-r^{-1}\) a pour valeurs propres les nombres \(2-2\cos(2k\pi /n)\), \(k\in \llbracket 0,n-1\rrbracket\) et \(\left\|f\right\|= \begin{cases}2&\text{ si $n$ est pair}\\ 2\cos(\pi /2n)&\text{si $n$ est impair.}\end{cases}\)

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