Soient \(E\) un espace euclidien et \(f \in \mathcal L (E)\). Montrer qu’il existe une base orthonormée \((e_{1},\dots,e_n)\) dont l’image par \(f\) est une famille orthogonale.


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[ID: 4306] [Date de publication: 21 mars 2024 18:32] [Catégorie(s): Endomorphismes des espaces euclidiens ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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\(f\) quelconque, il existe une BON dont l’image est orthogonale
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 18:32

Soit \(\mathcal B\) une BON fixée, \(M = \mathop{\rm Mat}\nolimits_\mathcal B (f)\), \(\mathcal B '\) la BON cherchée et \(P\) la matrice de passage de \(\mathcal B\) à \(\mathcal B '\). On veut que \({ }^tM'M'\) soit diagonale avec \(M' = { }^tPMP\), cad \({ }^tP\,^tMMP\) diagonale.


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