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Centrale MP 2002
Que peut-on dire de l’adjoint d’un projecteur orthogonal d’un espace euclidien ? Réciproque ?
Soit \(p\) un projecteur d’un espace euclidien tel que \(p\circ p^*=p^*\circ p\). Montrer que \(p\) est un projecteur orthogonal.
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[ID: 4303] [Date de publication: 21 mars 2024 18:30] [Catégorie(s): Projecteurs orthogonaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Centrale MP 2002
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 18:30
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 18:30
\(p\) est un projecteur orthogonal \(\Leftrightarrow p\) est un projecteur et \(p=p^*\Leftrightarrow p^*\) est un projecteur orthogonal.
\(p\) et \(p^*\) commutent donc \(\mathop{\rm Ker}\nolimits p\) et \(\mathop{\rm Im}\nolimits p\) sont stables par \(p\) et par \(p^*\), d’où \(p^*_{|\mathop{\rm Ker}\nolimits p} = (p_{|\mathop{\rm Ker}\nolimits p})^* = 0_{\mathop{\rm Ker}\nolimits p}\) et \(p^*_{|\mathop{\rm Im}\nolimits p} = (p_{|\mathop{\rm Im}\nolimits p})^* = \mathop{\rm id}\nolimits_{\mathop{\rm Im}\nolimits p}\). Ainsi \(p=p^*\) ce qui implique \(\mathop{\rm Ker}\nolimits p \perp \mathop{\rm Im}\nolimits p\).
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