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Composée de projecteurs
Soient \(p,q\) deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien \(E\).
Montrer que \(p\circ q\circ p\) est auto-adjoint.
Montrer que \((\mathop{\rm Im}\nolimits p + \mathop{\rm Ker}\nolimits q) \mathop{\oplus }\limits^\perp (\mathop{\rm Ker}\nolimits p \cap \mathop{\rm Im}\nolimits q) = E\).
En déduire que \(p\circ q\) est diagonalisable.
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[ID: 4301] [Date de publication: 21 mars 2024 18:30] [Catégorie(s): Projecteurs orthogonaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Composée de projecteurs
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 18:30
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 18:30
\((p\circ q)_{|\mathop{\rm Im}\nolimits p} = (p\circ q\circ p)_{|\mathop{\rm Im}\nolimits p}\) est diagonalisable et \((p\circ q)_{|\mathop{\rm Ker}\nolimits q + (\mathop{\rm Ker}\nolimits p\cap \mathop{\rm Im}\nolimits q)} = 0\) donc tout vecteur de \(E\) est somme de vecteurs propres pour \(p\circ q\).
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