Soit \(\varphi\) l’endomorphisme de matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^4\) : \(M = \begin{pmatrix}2 &0 &0 &3 \\ 0 &2 &3 &0 \\ 0 &3 &2 &0 \\ 3 &0 &0 &2\end{pmatrix}\).

Montrer qu’il existe des projections orthogonales \(p\), \(q\) et des réels \(\lambda\), \(\mu\) tels que : \(\varphi = \lambda p + \mu q\), \(p\circ q = 0\), \(p+q = \mathop{\rm id}\nolimits_E\).

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[ID: 4299] [Date de publication: 21 mars 2024 18:30] [Catégorie(s): Projecteurs orthogonaux ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Décomposition en projections orthogonales
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 18:30

\(M = 5\begin{pmatrix}1/2 &0 &0 &1/2 \\ 0 &1/2 &1/2 &0 \\ 0 &1/2 &1/2 &0 \\ 1/2 &0 &0 &1/2 \\\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1/2 &0 &0 &-1/2 \\ 0 &1/2 &-1/2 &0 \\ 0 &-1/2 &1/2 &0 \\ -1/2 &0 &0 &1/2 \\\end{pmatrix}\).

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