Étudier \[f(x) = \operatorname{arctan} \left(\dfrac{\sqrt{x^2 + 1}-1}{x}\right)\]


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[ID: 346] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:30] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 945
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:30

\(D_f = \mathbb{R}^{\star}\), \(f\) est impaire. On fait l’étude sur \([0, +\infty[\). \(f\) est dérivable sur \(]0, +\infty[\) et \(\forall x \in ]0, +\infty[\) : \[\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{2x^2 + 2 - 2\sqrt{x^2 +1}}\times \dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}} \\ &= \dfrac{\sqrt{x^2+1} - 1}{2(x^2+1)(\sqrt{x^2+1}-1)} \\ &= \dfrac{1}{2(x^2+1)} \\ &= \dfrac{1}{2}\operatorname{arctan} '(x) \end{aligned}\] Donc il existe \(C_1\in\mathbb{R}\) telle que \(\forall x \in ]0, +\infty[\), \[f(x) = \dfrac{1}{2}\operatorname{arctan} x + C_1\] En prenant la limite lorsque \(x\rightarrow +\infty\), on trouve \(C_1 = 0\). De même, on montre que \(\forall x \in ]-\infty, 0[\), \[f(x) = \dfrac{1}{2}\operatorname{arctan} x\] On retrouve ce résultat par la trigonométrie en posant \(x = \tan\theta\).


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