Étudier la fonction \[f(x)=\operatorname{arctan} \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2} }\]


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[ID: 344] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:30] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 906
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:30

On détermine \(D_f=]-1,1[\), \(f\) est impaire et dérivable sur \(]-1,1[\) et \(\forall x\in ]-1,1[\),

\[\begin{split} f'(x)&= \dfrac{1}{1+\dfrac{x^2}{1-x^2}} \,\times\, \dfrac{\sqrt{1-x^2}+\dfrac{2x^2}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{split}\]

Par conséquent, \(\exists C\in \mathbb{R}\), tel que \(\forall x\in ]-1,1[\), \(f(x)=C\). Comme \(f(0)=0\), on a montré que \(\forall x\in ]-1,1[\),

\[\operatorname{arctan} \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \operatorname{arcsin} x\] On retrouve ce résultat par la trigonométrie. Soit \(x\in ]-1,1[\). Alors \(\exists! \theta \in ]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}[\) tel que \(x=\sin\theta\). Alors \[\operatorname{arctan} \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}= \operatorname{arctan} \dfrac{\sin\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}=\operatorname{arctan} \theta=\theta\]


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