Étudier la fonction \[f(x)=\operatorname{arccos} \dfrac{1-x^2}{1+x^2} - 2\operatorname{arctan} x\]


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[ID: 342] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:30] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 431
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:30
  1. Puisque \(\operatorname{arccos}\) est définie sur \([-1,1]\), il faut que \(\left\vert \dfrac{1-x^2}{1+x^2}\right\vert \leqslant 1\), ce qui est toujours vérifié car \(\forall x\in \mathbb{R}\), \(1-x^2\leqslant 1+x^2\) et \(1-x^2\geqslant-(1+x^2)\). Donc \(\boxed{D_f=\mathbb{R} }\). Il n’y a pas de parité.

  2. Puisque \(\operatorname{arccos}\) est dérivable sur \(]-1,1[\) et que \(\left\vert \dfrac{1-x^2}{1+x^2}\right\vert=1 \Longleftrightarrow x=0\), \(f\) est dérivable sur \(I_1=]-\infty,0[\) et sur \(I_2=]0,+\infty[\) comme composée de fonctions dérivables. Et \(\forall x\in I_1\cup I_2\): \[f'(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1-\dfrac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}\dfrac{-2}{(1+x^2)^2}(2x)- \dfrac{2}{1+x^2}= \dfrac{2 sg(x)}{1+x^2}- \dfrac{2}{1+x^2}\] Par conséquent, puisque \(f'=0\) sur \(I_2\), \(\exists C_2\in \mathbb{R}\), tel que \(\forall x\in I_1\), \(f(x)=C_2\) et en faisant \(x\rightarrow +\infty\), \(C_2=0\). Sur \(I_1\), \(f'(x)=-\dfrac{4}{1+x^2}\) et donc \(\exists C_1\in \mathbb{R}\), tel que \(\forall x\in I_1\), \(f(x)=4\operatorname{arctan} x + C_1\). En faisant \(x\rightarrow -\infty\), on trouve que \(C_1=2\pi\).

  3. Montrons par la trigonométrie que \[\forall x\geqslant 0, \quad\operatorname{arccos} \left( \dfrac{1-x^2}{1+x^2}\right) = 2\operatorname{arctan} x\] Soit \(x\geqslant 0\). Il existe un unique \(\theta \in ]0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}[\) tel que \(x=\tan \theta/2\). Alors \(2\operatorname{arctan} x = \theta\) et \[\operatorname{arccos} \left( \dfrac{1-x^2}{1+x^2}\right) = \operatorname{arccos} ( \cos\theta) =\theta (\theta\in [0,\pi])\]


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