Montrer que \[\forall x\in [0,1], \quad\operatorname{arcsin} \sqrt{x} = \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\operatorname{arcsin} (2x-1)\] Retrouver ensuite ce résultat par la trigonométrie
( ).
On pourra poser \(x=\sin^2 u\)

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[ID: 340] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:30] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 799
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:30

Soit \(f(x)=\operatorname{arcsin} \sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\operatorname{arcsin} (2x-1)\). \(f\) est bien définie sur \([0,1]\) car \(-1\leqslant 2x-1 \leqslant 1\). Elle est dérivable sur \(]0,1[\) et \[f'(x)=\dfrac{1}{ \sqrt{1-x} } \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{\sqrt{1-(2x-1)^2} } = \dfrac{1}{2\sqrt{x-x^2}}- \dfrac{1}{\sqrt{4x-4x^2} }=0\] Cette fonction est donc constante sur l’intervalle \([0,1]\). En faisant \(x=0\), on trouve que \(f(0)=\dfrac{\pi}{4}\).

On retrouve ce résultat car on peut poser \(x=\sin^2 u\) lorsque \(x\in [0,1]\), avec \(u\in [0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}]\). Alors \[\operatorname{arcsin} ( 2x-1)=\operatorname{arcsin} (-\cos 2u)=-\operatorname{arcsin} (\cos 2u)= \operatorname{arccos} (\cos 2u)-\dfrac{\pi}{2} = 2u -\dfrac{\pi}{2}\] et \(\operatorname{arcsin} \sqrt{x}=\operatorname{arcsin} \sin u = u\).


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