Étudiez la fonction \(f\) définie par : \[f(x) = \operatorname{arctan} \left(\dfrac{2x}{1-x^2}\right) - 2\operatorname{arctan} x\]


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[ID: 338] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 635
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:29

La fonction \(f\) est définie pour \(x\not\in \{-1, +1\}\) donc \(D_f = ]-\infty, -1[ \cup ]-1, 1[ \cup ]1, +\infty[\). Comme la fonction \(f\) est impaire, on fait l’étude sur les intervalles \(I_1 = [0, 1[\) et \(I_2 = ]1, +\infty[\). Calculons sa dérivée : \[\forall x \in I_1 \cup I_2, \quad f'(x) = \dfrac{2x^2+2}{x^4+2x^2+1} - \dfrac{2}{1+x^2} = 0\] Par conséquent, \(\exists C_1 \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall x\in I_1\), \(f(x) = C_1\) et \(\exists C_2 \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall x\in I_2\), \(f(x) = C_2\). En faisant \(x=0\) et \(x\rightarrow +\infty\), on trouve que \(C_1 = 0\) et \(C_2 = -\pi\).
Montrons par la trigonométrie que \[\forall x \in ]-1, 1[, \quad \operatorname{arctan} \left(\dfrac{2x}{1-x^2}\right) = 2 \operatorname{arctan} x\] Soit \(x\in ]-1, 1[\). \(\exists ! \theta \in \left] -{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}, {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right[\) tel que \(x = \tan \theta\). Alors \[\dfrac{2x}{1-x^2} = \dfrac{\tan 2\theta}{1-\tan^2 \theta} = \tan(2\theta)\] Or \(2\theta \in \left] -{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}, {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\) donc \[\operatorname{arctan} \dfrac{2x}{1-x^2} = 2\theta = 2\operatorname{arctan} x\]


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