Étudier \[f(x) = \operatorname{arcsin} \left( \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)\]


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[ID: 336] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 328
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:29

Posons \(\varphi(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\). \(\varphi\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad\varphi'(x) = \dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}\] D’après le tableau de variations de \(\varphi\), \(\varphi\) est à valeurs dans \(]-1, 1[\). Comme \(\operatorname{arcsin}\) est définie et dérivable sur \(]-1, 1[\), \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \[\begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R} , \quad f'(x) &= \dfrac{1}{\sqrt{1 - {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle x^2+1}}} \times \varphi'(x) \\ &= \dfrac{1}{x^2 + 1} \\ &= \operatorname{arctan} '(x) \end{aligned}\] Par conséquent, \(\exists C\in\mathbb{R}\) tel que \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad f(x) = \operatorname{arctan} x + C\] En prenant \(x=0\), on trouve que \(C=0\).

Montrons par la trigonométrie que \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad \operatorname{arcsin} \left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) = \operatorname{arctan} x\] Soit \(x\in \mathbb{R}\). \(\exists! \theta \in ]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}, {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}[\) tel que \[x = \tan \theta\] Alors \(\operatorname{arctan} x = \operatorname{arctan} \tan \theta = \theta\) (car \(\theta \in \left] -{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}, {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\).

D’autre part, \[\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} = \tan \theta \lvert \cos\theta \rvert = \tan \theta \cos\theta = \sin\theta\] (le cosinus est positif sur \(\left] -{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}, {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\).

Alors \[\operatorname{arcsin} \left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) = \operatorname{arcsin} \sin\theta = \theta\] car \(\theta \in \left] -{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}, {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\) et on a bien le résultat.


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