Étudier \[f(x) = \operatorname{arccos} \left( \dfrac{\sqrt{x}}{1 + x}\right)\]


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[ID: 334] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 136
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:29

Considérons la fonction \(\varphi(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{1+x}\). Elle est définie sur \([0, +\infty[\) et dérivable sur \(]0, +\infty[\), et \[\forall x > 0, \quad\varphi'(x) = \dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(1+x)^2}\] En traçant le tableau de variations de \(\varphi\), on voit que \(\varphi\) est à valeurs dans \([0, {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}]\). Comme \(\operatorname{arccos}\) est définie et dérivable sur \([0, {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}]\), \(f\) est définie continue sur \(D_f = [0, +\infty[\) et dérivable sur \(]0, +\infty[\), et \[\begin{aligned} \forall x \in ]0, +\infty[, \quad f'(x) &= \dfrac{-1} {\sqrt{1-{\scriptstyle x\over\scriptstyle(1+x)^2}}} \times \varphi'(x) \\ &= \dfrac{x - 1}{2\sqrt{x}\sqrt{x^2+x+1}(x+1)} \end{aligned}\] Par conséquent, \(f\) est décroissante sur \([0, 1]\), croissante sur \([1, +\infty[\) et \(f(0) = \dfrac{\pi}{2}\), \(f(1)=\dfrac{\pi}{3}\), \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} \dfrac{\pi}{2}\).

Comme \(f'(x) \xrightarrow[x \rightarrow 0]{} +\infty\), \(f\) n’est pas dérivable en \(0\) (demi-tangente verticale).


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