Étudier la fonction définie par : \[f(x) = \operatorname{arcsin} \left(2x\sqrt{1-x^2}\right)\]


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[ID: 332] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 481
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:29
  1. Pour que la racine soit définie, il faut que \(x\in [-1, 1]\).

  2. \(\operatorname{arcsin}\) est définie sur \([-1, 1]\). Étudions donc \(\varphi(x) = 2x\sqrt{1-x^2}\) sur \([-1, 1]\). C’est une fonction impaire. Il suffit de faire l’étude sur \([0, 1]\). \(\varphi\) est dérivable sur \([0, 1[\) et \(\forall x \in [0, 1[\), \[\varphi'(x) = \dfrac{2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}\] On écrit le tableau de variations de \(\varphi\) et on voit que \[\forall x \in [-1, 1], \quad\varphi(x) \in [-1, 1]\] avec \(\varphi\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt 2}\right) = 1\).

    Par conséquent, \(D_f = [-1, 1]\).

  3. \(f\) est impaire. On fait l’étude sur \([0, 1]\).

  4. \(\varphi\) est dérivable sur \(]-1, 1[\). Comme \(\operatorname{arcsin}\) est dérivable sur \(]-1, 1[\), à valeurs dans \([-1, 1]\) et \(\varphi(\theta) = 1\) si et seulement si \(\theta = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{2}}\). On en déduit que \(f\) est dérivable sur \(I_1 =[0, {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{2}}[\) et sur \(I_2=]{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{2}}, 1[\).

  5. \(\forall x \in I_1 \cup I_2\), on calcule \[f'(x) = \dfrac{ 2(1-2x^2)}{\lvert 2x^2-1 \rvert \sqrt{1-x^2}}\] Par conséquent, \(\forall x \in I_1\), \(f'(x)= \dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\) et \(\forall x \in I_2\), \(f'(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\).

  6. Donc il existe \(C_1 \in \mathbb{R}\) tel que \[\forall x \in I_1, \quad f(x) = 2\operatorname{arcsin} x + C_1\] et \(\exists C_2\in\mathbb{R}\) tel que \[\forall x \in I_2, \quad f(x) = -2\operatorname{arcsin} x + C_2\] On détermine \(C_1 = 0\) et \(C_2 = \pi\) en prenant les valeurs particulières \(x = 0\) et \(x = 1\).

  7. En conclusion : \[f(x) = \begin{cases} 2\operatorname{arcsin} x & \textrm{ si } x \in [0, {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{2}}] \\ -2\operatorname{arcsin} x - \pi & \textrm{ si } x \in [{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{2}}, 1] \end{cases}\]

Montrons en utilisant la trigonométrie que \[\forall x \in [-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{2}}, {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{2}}], \quad \operatorname{arcsin} \left(2x\sqrt{1-x^2}\right) = 2\operatorname{arcsin} x\] Soit \(x\in [-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{2}}, {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{2}}]\). Posons \[y = \operatorname{arcsin} (2x\sqrt{1-x^2})\] \(\exists!\theta \in [-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}, {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}]\) tel que \[x = \sin\theta\] Alors \[2x\sqrt{1-x^2} = 2\sin\theta\lvert \cos\theta \rvert = 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta\] Or comme \(2\theta \in [-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}, {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}]\), \[y = \operatorname{arcsin} (\sin(2\theta)) = 2\theta = 2\operatorname{arcsin} x\]


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