• Montrer que : \(\operatorname{arctan} x + \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} = \left\{\begin{array}{l} {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} \textrm{ si } x>0 \\ -{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} \textrm{ si } x<0 \end{array}\right.\)

  • Montrer que : \(\forall x \in [-1,1]\): \(\operatorname{arcsin} (x)+\operatorname{arccos} (x)={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\).


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[ID: 328] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 691
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:29

La même méthode s’applique dans les deux questions.

  1. Soit \(\theta_1: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \operatorname{arctan} x + \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \end{array} \right.\). \(\theta_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et \(\theta_1'=0\). Par conséquent, il existe des réels \(c_1\) et \(c_2\) tels que \({\theta_1}_{|\mathbb{R}^*_-}=c_1\) et \({\theta_1}_{|\mathbb{R}^*_+}=c_2\). En prenant la limite de \(\theta_1\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\) et \(+\infty\) on montre que \(c_1=-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\) et \(c_2={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\).

  2. Soit \(\theta_2: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[-1,1\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \operatorname{arcsin} (x)+\operatorname{arccos} (x) \end{array} \right.\). \(\theta_2\) est dérivable sur \(\left[-1,1\right]\) et \(\theta_2'=0\). \(\theta_2\) est donc constante sur \(\left[-1,1\right]\) et évaluant l’expression en \(x=0\), on montre que cette constante vaut \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\).


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