Résoudre l’équation \(\operatorname{arcsin} x=2 \operatorname{arctan} x\).


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[ID: 326] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 518
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:29

Pour tout \(X\in\left]-\pi/2,\pi/2\right[\), comme \(1+\tan^2 X= 1/\cos^2 X\), il vient \(\cos X =1/\sqrt{1+\tan^2 X}\). Donc \(\cos \operatorname{arctan} x= 1/(\sqrt{1+x^2})\) car \(\operatorname{arctan} x\in\left]-\pi/2,\pi/2\right[\) et comme \(\sin X = \pm \sqrt{1-\cos^2 X}\), on a aussi \(\sin\operatorname{arctan} x= x/\sqrt{1+x^2}\). On a alors : \[\begin{aligned} & & \operatorname{arcsin} x=2 \operatorname{arctan} x\\ &\Rightarrow & x=\sin\left(2 \operatorname{arctan} x\right)\\ &\Rightarrow & x=2\sin\left(\operatorname{arctan} x\right)\cos\left(\operatorname{arctan} x\right)\\ &\Rightarrow & x=\dfrac{2x}{1+x^2}\\ &\Rightarrow & x^3-x=0\\ &\Rightarrow &x=-1, \quad x=0 \textrm{ ou } x=1\end{aligned}\] Réciproquement, on vérifie que ces \(3\) nombres sont solutions de l’équation.


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