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[ID: 324] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]

Solution(s)

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Exercice 610
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 11 janvier 2021 15:29

1. Soit \(x\in\left[-1,1\right]\).

   1. \(\operatorname{arcsin} x\in\left[-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right]\) donc \(\cos(\operatorname{arcsin} x)=\sqrt{1-\sin^2 \left(\operatorname{arcsin} x\right)} = \boxed{\sqrt{1-x^2}}\)

   2. \(\operatorname{arccos} x\in\left[0,\pi\right]\) donc \(\sin(\operatorname{arccos} x)=\sqrt{1-\cos^2\left(\operatorname{arccos} {x}\right)} =\boxed{ \sqrt{1-x^2}}\).

2. Soit \(x\in\mathbb{R}\). Remarquons que, pour tout \(X\in\left]-\pi/2,\pi/2\right[\), comme \(1+\tan^2 X= 1/\cos^2 X\), il vient \(\cos X =1/\sqrt{1+\tan^2 X}\) et donc \(\cos \operatorname{arctan} x= 1/(\sqrt{1+x^2})\) car \(\operatorname{arctan} x\in\left]-\pi/2,\pi/2\right[\).

   1. On utilise les techniques de l’annexe , il vient \(\cos(3 X)=4\cos^3 X-3\cos X\) et donc : \[\begin{aligned} \cos(3 \operatorname{arctan} x)&=& 4\cos^3 \operatorname{arctan} x-3\cos \operatorname{arctan} x\\ &=& \dfrac{4}{\left(1+x^2 \right)^{3/2}} - \dfrac{3}{\left(1+x^2 \right)^{1/2}}\\ &=& \boxed{\dfrac{1-3x^2}{\left(1+x^2 \right)^{3/2}}} \end{aligned}\]

   2. Comme \(\cos^2 X= 1/2(\cos(2x)+1)\) : \[\begin{aligned} \cos^2\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \operatorname{arctan} x\right) &=&\dfrac{1}{2}\left(\cos \operatorname{arctan} x +1\right)\\ &=&\boxed{\dfrac{1}{2\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{2}} \end{aligned}\]