1. Montrer que \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} = \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} + \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\).

  2. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\setminus \left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 8} + {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\mathbb{Z}\right)\), exprimer \(\tan \left(4x\right)\) en fonction de \(\tan x\).

  3. En déduire la formule de Machin : \[{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} = 4 \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 5} - \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 239}\]


Barre utilisateur

[ID: 322] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Formule de Machin
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:29
  1. Notons \(\alpha = \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} + \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\). En utilisant les formules d’additions pour la tangente : \[\begin{aligned} \tan\left(\alpha\right) = \dfrac{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3} }{ 1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \times {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3} } =1.\end{aligned}\] De plus \(0\leqslant\alpha \leqslant\pi\), donc nécessairement \(\alpha={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\).

  2. Soit \(x\in\mathbb{R}\setminus \left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 8} + {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\mathbb{Z}\right)\). Toujours par application des formules d’additions, on montre que : \[\tan\left(4x\right) = \dfrac {4\,\tan \left( x \right) -4\, \left( \tan \left( x \right) \right) ^{3}}{1-6\, \left( \tan \left( x \right) \right) ^{2}+ \left( \tan \left( x \right) \right) ^{4}}\]

  3. Par application de cette dernière formule, on trouve que : \(\tan\left(4 \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 5}\right) = {\scriptstyle 120\over\scriptstyle 119}\). Donc, une fois encore grâce aux formules d’additions, si on note \(\beta= 4 \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 5} - \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 239}\), on trouve : \[\tan \beta = \dfrac{\tan \left( 4 \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 5} \right) - \tan\left(\operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 239}\right) }{1 + \tan \left( 4 \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 5} \right) \tan\left(\operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 239}\right)} = {\scriptstyle{\scriptstyle 120\over\scriptstyle 119} - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 239}\over\scriptstyle 1 + {\scriptstyle 120\over\scriptstyle 119}\times{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 239} }=1\] et donc comme dans la première question, on montre que \(\beta = {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\), ce qui démontre la formule de Machin.


Documents à télécharger