Calculer :

  1. \(\operatorname{arcsin} (\sin ({\scriptstyle 3 \pi \over\scriptstyle 4}))\)

  2. \(\operatorname{arccos} ( \cos ({\scriptstyle 2009 \pi \over\scriptstyle 3}))\)


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[ID: 320] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 412
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:29
  1. Comme \(\operatorname{arcsin} ~:\left[-1,1\right]\rightarrow\left[-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right]\), il faut déterminer le réel \(x\in \left[-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right]\) tel que \(\sin x= \sin \left({\scriptstyle 3 \pi \over\scriptstyle 4}\right)\). Mais \(\sin \left({\scriptstyle 3 \pi \over\scriptstyle 4}\right) = \sin\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} + {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} \right) = \cos {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}={\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2}=\sin\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)\) donc : .

  2. On a : \(\operatorname{arccos} ~:\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,\pi\right]\), donc il faut déterminer le réel \(x\in\left[0,\pi\right]\) tel que \(\cos x = \cos ({\scriptstyle 2009 \pi \over\scriptstyle 3})\). Mais \(2009 = 3 \times 670 -1\) donc \(2009 \pi = -{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3} \quad \left[2\pi\right]\). Comme \(\cos -{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3} = \cos {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}\), il vient : .


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