Démontrer que \(\forall x \in \left] 0;{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\), \(\left( \dfrac{\sin x}{x}\right) ^2 + \dfrac{\tan x}{x} > 2\).


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[ID: 316] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 43
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:29

Soit \(\Phi(x) = \cos x\sin^2x + x\sin x - 2x^2\cos x\), on a
\(\begin{array}{rcl} \Phi'(x) &=& - \sin^3x + 2\cos^2x\sin x + \sin x + x\cos x - 4x\cos x + 2x^2\sin x\\ &=& 2\cos^2x\sin x - \sin^3x + \sin x + 3x\cos x + 2x^2\sin x.\\ \Phi''(x) &=& 2\cos^3x - 4\sin x\cos x\sin x - 3\sin^2x\cos x + \cos x - 3\cos x + 3x\sin x + 4x\sin x + 2x^2\cos x\\ &=& 2\cos^3x - 7\sin^2x\cos x - 2\cos x + 7x\sin x + 2x^2\cos x\\ &=& 2\cos x(\cos^2x - 1) + 2x^2\cos x + 7\sin x(x - \sin x\cos x)\\ &=& 2\cos x(\cos^2x - (1- x^2)) + 7x\sin x\left( 1 - \dfrac{\sin2x}{2x}\right) \end{array}\)

Or sur \(\left] 0;{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\), \(1 - \dfrac{x^2}{2} \leqslant \cos x \leqslant 1\), d’oú \(\left( 1 - \dfrac{x^2}{2}\right)^2 \leqslant \cos^2 x\), soit \(1 - x^2 + \dfrac{x^4}{4} \leqslant \cos^2x\), soit \(0\leqslant \dfrac{x^4}{4} \leqslant \cos^2 x - (1 - x^2)\).
On a donc \(\Phi''(x) > 0\). \(\Phi'\) est strictement croissante sur \(\left[ 0;{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\), comme \(\Phi'(0) = 0\), \(\Phi'\) est à valeurs positives, donc \(\Phi\) est strictement croissante sur \(\left[ 0;{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\), comme \(\Phi(0) = 0\), \(\Phi\) est à valeurs positives.
Donc \(\forall x \in \left] 0;{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\), \(\cos x\sin^2x + x\sin x > 2x^2\cos x\), d’oú le résultat en divisant par \(x^2\cos x\).


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