Prouver que :

  1. \(\forall x\in \mathbb{R}_+,\quad \sin x \leqslant x\)

  2. \(\forall x\in\mathbb{R},\quad \cos x \geqslant 1-{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 2}\)


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[ID: 314] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Fonctions circulaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 751
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:29
  1. Il suffit d’étudier les variations de la fonction \(f_1: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sin x - x \end{array} \right.\).

  2. On prouve d’abord l’inégalité sur \(\mathbb{R}_+\). Pour ce faire, on étudie les variations de \(f_2: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \cos x - 1+{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 2} \end{array} \right.\) et on utilise l’inégalité prouvée dans la question 1. On montre alors que l’inégalité reste vraie sur \(\mathbb{R}_-\) en utilisant la parité de \(f_2\).


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