Soit \(M\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) antisymétrique et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) canoniquement associé à \(M\).

  1. Montrer que les valeurs propres de \(M\) sont imaginaires pures.

  2. Montrer que \(\mathop{\rm Ker}\nolimits f \perp \mathop{\rm Im}\nolimits f\). En déduire que \(g = f_{|\mathop{\rm Im}\nolimits f}\) est un isomorphisme de \(\mathop{\rm Im}\nolimits f\).

  3. Montrer que \(g^2\) est diagonalisable. En déduire que \(\mathop{\rm rg}\nolimits(M)\) est pair.


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[ID: 4284] [Date de publication: 21 mars 2024 18:19] [Catégorie(s): Matrices antisymétriques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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Spectre et rang d’une matrice antisymétrique
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