On munit \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) du produit scalaire canonique. Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\). On définit \(\varphi _A:\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}}) \to \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) par : \(\forall M\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\), \(\varphi _A(M) = { }^t\!AMA\).

  1. Montrer que : \(\forall A,B\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\), \(\varphi _{AB} = \varphi _B\circ \varphi _A\).

  2. Soit \(A\in O_n(\mathbb{R})\).

    1. Montrer que \(\varphi _A\) induit une bijection de \(O_n(\mathbb{R})\) et \(S_n(\mathbb{R})\) sur eux-mêmes.

    2. Soit \(M\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\). Montrer que : \(\forall P\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\), \(P\in M^\perp\) si et seulement si \(\varphi _A(P)\in \varphi _A(M)^\perp\).

  3. Soit \(n\geq 2\) pair. Soit \(H\) un hyperplan de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\). Montrer que \(H\) contient une matrice symétrique et orthogonale. Que dire en dimension impaire ?


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[ID: 4282] [Date de publication: 21 mars 2024 17:07] [Catégorie(s): Matrices symétriques positives ou définies positives ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Centrale 2017
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 17:07
  1. Pour \(n\) pair, on note \(B\) une matrice dirigeant \(H^\perp\), que l’on décompose en \(B=B_s+B_a\) avec \(B_s\) symétrique et \(B_a\) antisymétrique. Soit \(A\in O_n(\mathbb{R})\) telle que \(\varphi _A(B_s)\) soit diagonale : \(\varphi _A(B_a)\) est encore antisymétrique donc pour toute matrice \(P\in O_n(\mathbb{R})\cap S_n(\mathbb{R})\), on a \(P\perp\varphi _A(B_a)\). On peut de plus choisir \(P\) de sorte que \(P\perp\varphi _A(B_s)\), par exemple \(P=\) (la matrice anti-diagonale de \(1\)). Alors \(Q = \varphi _A^{-1}(P)\) est symétrique, orthogonale, et dans \(H\).

    Pour \(n\) impair, la propriété est fausse : si \(H\) est l’hyperplan constitué des matrices de trace nulle, alors \(H\) ne contient aucune matrice qui soit à la fois orthogonale et symétrique (ce serait la matrice d’une symétrie orthogonale par rapport à un sev \(F\) et donc sa trace vaudrait \(n-2\dim(F)\neq 0\)).


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