Soit \(A\in S_n(\mathbb{R})\). Montrer que les valeurs propres de \(A\) sont positives si et seulement si pour toute matrice \(B\in S_n(\mathbb{R})\) de valeurs propres positives on a \(\mathop{\rm tr}\nolimits(AB)\geq 0\).


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[ID: 4280] [Date de publication: 21 mars 2024 17:06] [Catégorie(s): Matrices symétriques positives ou définies positives ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Mines 2017
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 17:06

\(A\) étant symétrique réelle, on peut l’orthodiagonaliser : \(A=PDP^{-1}\) avec \(P\in O(n)\) et \(D\) diagonale. Si \(B\) est une matrice quelconque, alors \(B\) et \(P^{-1}BP = { }^tPBP\) sont simultanément symétriques à valeurs propres positives. De plus, \(\mathop{\rm tr}\nolimits(AB) = \mathop{\rm tr}\nolimits(D(P^{-1}BP))\). Donc l’énoncé est inchangé si on remplace \(A\) par \(D\).

Si \(D\) a une valeur propre \(d_{ii}<0\) alors en prenant \(B=E_{ii}\) on trouve \(\mathop{\rm tr}\nolimits(DB) = d_{ii}<0\). Par contraposée, si \(\mathop{\rm tr}\nolimits(DB)\geq 0\) pour toute matrice \(B\) symétrique à valeurs propres positives, alors \(D\) est aussi à valeurs propres positives.

Si les valeurs propres de \(D\) sont positives : soit \(S=\sqrt D\) la matrice diagonale à coefficients positifs telle que \(S^2 =D\) et soit \(B\in S_n(\mathbb{R})\) à valeurs propres positives. On a \(\mathop{\rm tr}\nolimits(DB) = \mathop{\rm tr}\nolimits(S^2 B) = \mathop{\rm tr}\nolimits(SBS)\) et \(SBS\) est une matrice symétrique réelle donc diagonalisable. Soit \(\lambda \in \mathop{\rm sp}\nolimits(SBS)\), \(X\) un vecteur propre associé et \(Y=SX\). On a \(\lambda { }^tXX = { }^tX(SBS)X = { }^tYBY\geq 0\) (décomposer \(Y\) sur une base orthonormale propre pour \(B\)). Ainsi \(\lambda ={ }^tYBY/{ }^tXX\geq 0\) et donc \(SBS\) est elle aussi à valeurs propres positives. Il en résulte \(\mathop{\rm tr}\nolimits(DB) \geq 0\).


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