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[ID: 4270] [Date de publication: 21 mars 2024 17:05] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints définis positifs ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Centrale MP 2000 (avec Maple)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 17:05

1. On se place dans une base propre pour \(u\), soient \(U,V,W\) les matrices associées avec \({U = \mathop{\rm diag}\nolimits(\lambda _i)}\). On doit donc résoudre \((\lambda _i+\lambda _j)W_{ij} = V_{ij}\) d’où l’existence, l’unicité et la symétrie de \(w\).

2.  A := matrix([[4,1,1],[1,4,-1],[1,-1,4]]);
   B := matrix([[0,0,-1],[0,0,1],[-1,1,3]]);
   > eigenvals(A); eigenvects(A);
   > P := transpose(matrix([[1, 0, 1], [1, 1, 0],[-1, 1, 1]]));
   > A1 := evalm(P^(-1)&*A&*P); B1 := evalm(P^(-1)&*B&*P);
   > C1 := matrix(3,3);
   > for i from 1 to 3 do
   for j from 1 to 3 do C1[i,j] := B1[i,j]/(A1[i,i]+A1[j,j]) od
   od;
   > C := evalm(P&*C1&*P^(-1)); evalm(A&*C+C&*A-B);

   \(\Rightarrow C=\dfrac1{140}\begin{pmatrix}11&-11&-33\\ -11&11&33\\ -33&33&69\end{pmatrix}\).

3. Si \(v\) est défini positif : on a \((v(x)|x) = 2(u(x)|w(x))\) donc si \(\lambda\) est une valeur propre de \(w\) et \(x\) est un vecteur propre associé, on a \(\lambda = \dfrac{(v(x)| x)}{2(u(x)|x)} > 0\) d’où \(w\) est défini positif.

   Cas \(w\) défini positif et \(v\) non positif : \(U=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\), \(W=\begin{pmatrix}1&1\\1&1+x\end{pmatrix}\), \(V=\begin{pmatrix}2&3\\3&4x+4\end{pmatrix}\) avec \(0<x<\frac{1}{8}\).