Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) symétrique. Pour \(1 \leq p \leq n\), on note \(\Delta _p\) le déterminant de la sous-matrice \((a_{ij})_{i,j\in \llbracket 1,p\rrbracket }\).

  1. Montrer que si \(A\) est définie positive, alors tous les déterminants \(\Delta _p\) sont strictement positifs.

  2. Réciproque : on suppose \(\Delta _{1} > 0, \dots, \Delta _n > 0\). Montrer qu’il existe une matrice \(B\) triangulaire supérieure inversible telle \(A = { }^tBB\). En déduire que \(A\) est définie positive.

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[ID: 4268] [Date de publication: 21 mars 2024 17:05] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints définis positifs ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Mineurs principaux positifs
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 17:05

  1. Récurrence : pour \(n=1\) c’est évident.

    \(n-1\Rightarrow n\) : \(A = \begin{pmatrix}A'&C'\\ { }^tC' &\alpha \end{pmatrix}\) avec \(A' = { }^tB'B'\).

    On cherche \(B = \begin{pmatrix}B' &X' \\ 0 &x\end{pmatrix}\) d’où : \(X' = { }^tB'^{-1}C'\) et \(x^2 = \alpha - { }^tX'X' = \dfrac{\det A}{\det A'} > 0\).

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