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[ID: 4262] [Date de publication: 21 mars 2024 17:03] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints positifs ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

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Endomorphismes à spectres positifs, Mines 2013
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 17:03

Soit \(x\in \ker (f+g)\). On a alors \((f(x)+g(x)|x)=0=(f(x)|x)+(g(x)|x)\). Or \(f\) et \(g\) sont symétriques, donc \((f(x)+g(x)|x)=0\) si et seulement si \((f(x)|x)=(g(x)|x)=0\). Si \(0,\lambda_2,\ldots,\lambda_p\) sont les valeurs propres de \(f\) et si \(x=\sum_{i=1}^p x_i\) (\(x_i\in E_{\lambda_i}(f)\)) on a \((f(x)|x)=\sum_{i=1}^p \lambda_i \|x_i\|^2\). On en déduit que \((f(x)|x)=0\) si et seulement si \(f(x)=0\). On en déduit que \(\ker(f+g)\subset \ker f\cap \ker g\). L’inclusion inverse est claire, donc \(\ker(f+g)= \ker f\cap \ker g\). Pour des sous-espaces vectoriels \(F,G\) d’un espace euclidien on a \((F+G)^\perp=F^\perp \cap G^\perp\) (vrai même dans un préhilbertien). On passe aux orthogonaux et on obtient \((F\cap G)^\perp =F^\perp +G^\perp\). L’endomorphisme \(f+g\) est symétrique donc \(\mathop{\rm Im}\nolimits(f+g)=(\ker (f+g))^\perp=(\ker f\cap \ker g)^\perp=(\ker f)^\perp +(\ker g)^\perp=\mathop{\rm Im}\nolimits f+\mathop{\rm Im}\nolimits g\) (car \(f\) et \(g\) sont symétriques).