Pour tout \(x\) dans un espace euclidien \(E\), on considère \(u(x) = (a|x)a + (b|x)b\) avec \(a\) et \(b\) unitaires linéairement indépendants.

  1. Montrer que \(u\) est un endomorphisme symétrique.

  2. Déterminer \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u)\).

  3. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(u\).

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[ID: 4259] [Date de publication: 21 mars 2024 16:59] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

CCP 2017
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:59

  1. \(x\mapsto (a|x)a\) et \(x\mapsto (b|x)b\) le sont (projections orthogonales sur \(〈a〉\) et \(〈b〉\)).

  2. \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u) = \{ a,b\} ^\perp\).

  3. \(0\) sur \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u)\), \(1\pm (a|b)\) sur \(\mathop{\rm vect}\nolimits(a\pm b)\).

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