Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\in \mathcal L (E)\) auto-adjoint tel que \(\mathop{\rm sp}\nolimits(u)\subset \mathbb{R}^{+*}\).

  1. Montrer que \(\forall x,y\in E\), \((x|y)^2 \leq (x|u(x))(y|u^{-1}(y))\).

  2. Soit \(e\) un vecteur unitaire.

    Montrer l’existence et déterminer la valeur de \(\delta _e = \inf\{ (x|u(x))\text{ tq }x\in E,\ (x|e)=1\}\).

  3. Déterminer, sous réserve d’existence, \(\inf\{ \delta _e\text{ tq }\left\|e\right\|=1\}\).


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[ID: 4257] [Date de publication: 21 mars 2024 16:59] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Mines 2016
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:59
  1. Par orthodiagonalisation, il existe \(v\in \mathcal L (E)\) auto-adjoint tel que \(u=v^2\). En posant \(y=u(z)\) il s’agit de prouver que \((v(x)|v(z))^2 \leq (v(x)|v(x))(v(z)|v(z))\) ce qui est un cas particulier de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

  2. Prendre \(y=e\) : \(\delta _e = 1/(e|u^{-1}(e))\).

  3. Décomposer \(e\) sur une base orthonormale propre pour \(u\). On obtient \(\min(\mathop{\rm sp}\nolimits(u))\).


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