Soit \(E=\mathcal C ([a,b],\mathbb{R})\) muni du produit scalaire usuel et de la norme associée. Soit \(u\in \mathcal L (E)\) un endomorphisme symétrique laissant stable tous les sev \(\mathbb{R}_n[X]\) (considérés comme des sous-espaces de \(E\)). Montrer qu’il existe une famille échelonnée \((P_n)\) de polynômes propres pour \(u\) telle que pour toute fonction \(f\in E\), on ait \(f=\sum_{n=0}^\infty (P_n|f)P_n\).

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[ID: 4255] [Date de publication: 21 mars 2024 16:59] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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ENS 2014
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:59

\(u_{|\mathbb{R}_n[X]}\) est symétrique et laisse stable \(\mathbb{R}_{n-1}[X]\) donc aussi son orthogonal dans \(\mathbb{R}_n[X]\) qui est de dimension \(1\). Soit \(P_n\) un polynôme de norme \(1\) dans cet orthogonal. Par construction, \(P_n\) est propre pour \(u\), de degré \(n\) et la suite \((P_n)\) est orthonormale. C’est une suite totale car \(\mathbb{R}[X]\) est dense dans \(E\) pour \(\left\|\ \right\|_\infty\) donc aussi pour \(\left\|\ \right\|_{2}\).

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