Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et \(p\) endomorphismes autoadjoints \(u_{1},\dots,u_p\). Soit \(q_i\) la forme quadratique associée à \(u_i\) (\(q_i(x) = (u_i(x)|x)\)). On suppose : \[\forall x\in E,\ q_{1}(x) + \dots+ q_p(x) = \left\|x\right\|^2 \quad\text{et }\mathop{\rm rg}\nolimits(u_{1})+\dots+\mathop{\rm rg}\nolimits(u_p) = n.\]

  1. Montrer que \(u_{1}+\dots+u_p = \mathop{\rm id}\nolimits_E\).

  2. Montrer que \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1})\oplus \dots\oplus \mathop{\rm Im}\nolimits(u_p) = E\).

  3. Montrer que les \(u_i\) sont en fait des projecteurs orthogonaux et que la somme précédente est orthogonale.

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[ID: 4253] [Date de publication: 21 mars 2024 16:59] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Centrale MP 2004
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:59

  1. \(u_{1}+\dots+u_p\) est l’endomorphisme autoadjoint associé à \(q_{1}+\dots+q_p\).

  2. \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1})+\dots+\mathop{\rm Im}\nolimits(u_p) \supset \mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1}+\dots+u_p) = E\) et la somme des dimensions est égale à \(\dim E\) donc la somme des sous-espaces est directe.

  3. On a \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u_{1}) = \{ x\in E \text{ tq }x = u_{2}(x) + \dots+ u_p(x)\} \subset \mathop{\rm Im}\nolimits(u_{2}+\dots+u_p) = \mathop{\rm Im}\nolimits(u_{2})\oplus \dots\oplus \mathop{\rm Im}\nolimits(u_p)\) et les deux termes extrêmes ont même dimension, d’où \(\mathop{\rm Ker}\nolimits(u_{1}) = \mathop{\rm Im}\nolimits(u_{2})\oplus \dots\oplus \mathop{\rm Im}\nolimits(u_p)\). Comme \(u_{1}\) est autoadjoint, \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1}) \perp \mathop{\rm Ker}\nolimits(u_{1})\) ce qui prouve l’orthogonalité de la somme. De plus \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1})\subset \mathop{\rm Ker}\nolimits(u_j)\) pour \(j\geq 1\) donc \(q_{1}(x) = \left\|x\right\|^2\) pour tout \(x\in \mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1})\). En appliquant 1) à \(\mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1})\) on obtient \(u_{1}(x)=x\) pour tout \(x\in \mathop{\rm Im}\nolimits(u_{1})\) ce qui prouve que \(u_1\) est un projecteur, et c’est un projecteur orthogonal car autoadjoint.

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